LORENZO

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 MÓDULO VII
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LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO
Es parte de los contenidos de ESTRUCTURAS EN ARQUITECTURA cuyo autor es el Ingeniero José Luis Gómez
Losas macizas de Hormigón Armado - Tipos

Losas que trabajan en una dirección (derechas)

    Criterios para definir su espesor

    Dimensionado y diseño de armaduras

Losas que trabajan en dos direcciones (cruzadas)

    Cálculo de solicitaciones

    Particularidades para definir su espesor

    Dimensionado y diseño de armaduras

Losas triangulares - Circulares - Poligonales y trapeciales

    Introducción
Por su forma de trabajo las losas pueden ser:
Armadas en una dirección (derechas), donde las cargas se transmiten en dirección perpendicular a las vigas de apoyo. Si hay vigas en los cuatro bordes pero la relación de luz mayor sobre luz menor es mayor que dos, el funcionamiento se aproxima a una losa derecha en dirección de la menor luz.
Armadas en dos direcciones, llamadas losas cruzadas, donde la relación entre el lado mayor y el lado menor es menor que dos. Las cargas se transmiten en las dos direcciones hacia los apoyos.
El comportamiento estructural de la losa derecha, cargada uniformemente se muestra en la figura MVII-2a.
Las curvaturas y por lo tanto los momentos flectores, son los mismos en todas las franjas que se extienden en la dirección corta entre los bordes apoyados, formándose una superficie cilíndrica.
Losa con armadura resistente en una dirección (derecha)

Este elemento estructural se caracteriza por tener dos dimensiones importantes con respecto a la tercera y que es su espesor. Corrientemente recibe cargas verticales y, por su trabajo a flexión, las transmite a sus apoyos, sean éstos vigas o muros.

Por otra parte, las losas ligadas monolíticamente a los planos verticales constituyen los planos horizontales o inclinados encargados de resistir como vigas, de gran canto, las fuerzas laterales (viento y sismo), transmitiéndolas a los planos resistentes verticales.

En una losa con dos apoyos como observamos en la figura MVII-3, si la cargamos en forma gradual y creciente hasta su rotura, veremos la aparición de una fisura central paralela a los apoyos en todo su largo. Esta fisura es coincidente con los lugares donde se producen los mayores momentos elásticos.

Si la losa tiene cuatro apoyos, pero la relación de luces ly /lx < 0.50, se comportará en forma similar a la analizada anteriormente (figura MVII-4).

Los momentos flectores en la dirección y son iguales que los de un conjunto de vigas puestas una al lado de la otra, y por lo tanto la losa puede ser dimensionada como si fuesen vigas rectangulares de ancho b = 100 cm. La armadura en la dirección y obtenida para ese ancho, se repetirá a lo largo de lx.

Utilizaremos las mismas fórmulas empleadas para el dimensionado de vigas rectangulares.

Criterios para definir el espesor de las losas derechas

Cuantía mínima de armadura: la armadura debe tener una sección controlada por tracción (dúctil) y satisfacer una cuantía mínima (min) determinada, para evitar efectos de contracción por fragüe y temperatura.

min = 0,0018

 Deformabilidad de la losa: la losa debe tener  rigidez suficiente para no exceder las flechas admisibles.

Las alturas o espesores mínimos establecidos en la Tabla VII-1 deben aplicarse únicamente a los elementos armados en una dirección que no soporten o que no estén vinculados a tabiques divisorios u otro tipo de elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por grandes flechas, a menos que el cálculo de las mismas indique que se puede utilizar un espesor menor sin provocar efectos inadmisibles.

 Resistencia al corte del hormigón sin armaduras: Por razones constructivas es conveniente no colocar armadura por corte; la contribución del hormigón al corte debe ser suficiente, es decir debe cumplir:
Consideraciones sobre la luz de cálculo
Para elementos que no estén construidos monolíticamente, por ejemplo una losa apoyada sobre mampostería, la luz de calculo será la luz libre entre apoyos más la altura del elemento, h, pero menor o igual a la luz entre ejes de apoyo.
Dimensionamiento a flexión de la sección de la losa
El dimensionamiento a flexión se desarrolla de la misma forma que para vigas rectangulares. Los momentos flectores son obtenidos por unidad de longitud en un ancho b = 1m. La armadura se calcula para un ancho unitario y se expresa en cm2/m.
Armadura principal:

La armadura principal se coloca en la dirección de la menor luz donde se producen los momentos mayores. La separación (s) máxima de dicha armadura debe cumplir:

s ≤ 2,5 h

s ≤ 2,5 db

s ≤ 30 cm

para h = altura de la losa y db = diámetro de la barra

 Armadura de contracción y temperatura:
En las losas estructurales donde la armadura de flexión está dispuesta en una sola dirección, se debe colocar armadura perpendicular a ella para resistir los esfuerzos debidos a la contracción y a la temperatura, teniendo en cuenta  las cuantías mínimas reglamentarias. Ver Tabla MVII-2 de cuantías mínimas.

La separación (s) de la armadura de contracción y temperatura:

s ≤ 3 veces el espesor de la losa                    s ≤ 300 mm

LOSAS CRUZADAS

Las losas que trabajan en dos direcciones o losas cruzadas tienen una relación de:
y trasmiten las cargas en dos direcciones.

El caso mas simple es el de la figura MVII-2b, cuando la losa está apoyada en los cuatro bordes.

La forma de la superficie deformada que se observa en la figura, que presenta curvaturas en ambas direcciones, indica que la carga se transmite según las direcciones x e y.

Análisis de las losas rectangulares macizas por líneas de rotura

Si se carga una losa apoyada en sus cuatro bordes en forma gradualmente creciente hasta su rotura, las primeras fisuras aparecen en la zona central, donde son mayores los momentos elásticos.

Al avanzar el proceso de carga las nuevas fisuras se van orientando a lo largo de ciertas líneas que se dirigen a las esquinas, que en el caso de losas simplemente apoyadas en sus cuatro bordes tienen una inclinación de 45º respecto de los bordes de la losa.

Como consecuencia de esta fisuración la losa queda dividida en cuatro partes, como indica la figura MVII-5.

Si se desprecian las deformaciones elásticas, frente a las deformaciones plásticas, se puede admitir simplificadamente, que las partes de la losa entre líneas de rotura quedan planas y, por consiguiente, sus intersecciones, es decir, las líneas de rotura, son rectas.
Las deformaciones de las losas consisten pues, únicamente en rotaciones de unas partes, en relación con otras rotaciones que tienen lugar a lo largo de las líneas de rotura y de las líneas de apoyo (bordes de la losa).

Es bueno destacar que en el instante último (colapso), el momento flector máximo está repartido a lo largo de estas líneas de rotura de una manera constante y es precisamente, igual al momento de rotura interno.
Finalmente, y para terminar con estas consideraciones preliminares, digamos que si planteamos una ecuación de equilibrio de momentos de cada una de las partes en que queda dividida la losa, con respecto al eje que coincide con la línea de apoyo (borde), entre el momento exterior último, desarrollado por la carga última (q), y el momento o los momentos internos últimos (Mxu o Myu), desarrollados en las líneas de rotura, siempre será posible, dividiendo ambos miembros de esta ecuación de equilibrio por el coeficiente de seguridad, tener planteada en definitiva, una ecuación en la que intervienen cargas y momentos internos de servicio.
Por lo tanto en lo sucesivo, pese a que el cálculo se desarrolla a partir del análisis de lo que ocurre en el instante del colapso final, trabajaremos con cargas y momentos de servicio.

Para hacer posible la solución del problema es necesario establecer una cierta relación entre los momentos Mx y My que corresponden a las direcciones x e y respectivamente.

Se buscará que esta relación coincida con el valor que resultará por aplicación del método elástico, de manera de obtener una adecuada seguridad a la fisuración, en ambas direcciones.

Consideremos en cada losa rectangular simplemente apoyada, la aplicación de las premisas en que se basa el método elástico:

 

• Para las fajas centrales el punto de cruce de las flechas fx y fy deben coincidir, fx = fy (figura MVII-6)

Y como estas flechas son proporcionales respecto de la parte de carga qx o qy que se transmite en una y otra dirección, y a la cuarta potencia de las luces correspondientes, es posible escribir:

luego
Si llamamos entonces (1)

• El momento en dirección y es proporcional a qy y al cuadrado de la luz ly, y análogamente ocurre en la dirección x.

Luego resulta

es decir

(2)

Queda así definida la relación que debe existir entre los momentos en una y otra dirección. Por lo tanto si pudiéramos determinar el momento en la dirección y, por ejemplo, el momento en la otra dirección se obtendrá inmediatamente por aplicación de la ecuación (2).
 • Cálculo del momento en la dirección y

Supondremos primeramente que ly < lx. Para determinar el momento en la dirección y, es decir, My, se analizará el equilibrio entre el momento de las fuerzas exteriores y el momento interno equilibrante, tal como lo muestra la figura MVII-7, referida a la parte de losa que colinda con uno de los bordes de luz Lx.

Para facilitar la comprensión del tema, las líneas oblicuas de rotura han sido reemplazadas por escalones paralelos a los lados de la losa.
Para la parte no grisada resulta:
La distancia del baricentro de esta área al borde de losa es:

Luego, si q es la carga por metro cuadrado de losa, el momento de las fuerzas exteriores con respecto al borde resulta:

Mext = My · lx,      y como debe ser Mext = Mint resulta
de donde
y teniendo en cuenta la ecuación (1) (3)
Si definimos la ecuación (3) queda  (4)
Conocido My, y teniendo en cuenta la ecuación (2) obtenemos:
Multiplicando y dividiendo el 2º miembro por lx2, entonces resulta:
o sea (5)
Expresión en la que definimos (6)

Con valores de dentro del campo 0,5 2 se han determinado los denominadores de momentos que figuran en la TABLA MVII-3 (denominadores para momentos / coeficientes para reacciones de apoyo).

• Cálculo de la carga que la losa transmite a los apoyos (carga equivalente por metro de apoyo)

La carga total que la losa transmite a un borde cualquiera es, evidentemente igual al producto del área de la parte de placa adyacente al mismo, multiplicada por la carga q que corresponde a cada metro cuadrado de losa.

Si dividimos esta carga total por la longitud de dicho borde, obtenemos una carga uniforme equivalente por metro de longitud de borde.
Carga por metro de viga de borde paralela a la dirección y, a la cual, para claridad de la explicación llamamos V1 (figura MVII-8).
multiplicando y dividiendo por lx
si definimos
entonces (7)
Análogamente se determina la carga por metro que la losa transmite a las vigas V2, es decir, a las vigas de dirección x.
Si definimos queda finalmente (8)

Mediante las ecuaciones (7) y (8) sea han determinado los coeficientes 1 y 2 que figuran en la TABLA MVII-3 (denominadores para momentos / coeficientes para reacciones de apoyo) para valores de [0,5 2].
Losa triangular

Comenzamos con un triángulo equilátero de lado a; la losa está simplemente apoyada sus tres bordes (figura MVII-9).

Ensayos experimentales muestran que las líneas de rotura se desarrollan a lo largo de las bisectrices de sus ángulos, y que en consecuencia en el instante último la placa llega a transformarse en un mecanismo formando tres triángulos articulados. Analicemos el triángulo ADB. La superficie (S):

o sea
Momento de la carga q con respecto al borde AB, llamando Gy a la distancia entre el centro de gravedad del triángulo y el borde AB:
Llamemos ahora Mp al momento por metro que actúa en el plano normal a la línea de rotura. El momento total a lo largo de cada una de las líneas de rotura será:
Mp = 0,577 · a  
El equilibrio de los “vectores momento” exige, considerando la proyección sobre el eje x de los “vectores momento” que actúan en las líneas de rotura AD y DB, del sector ADB que analizamos (figura MVII-10). 
Mext = Mint         luego
como cos30º = 0,866
de donde
que es el momento por unidad de longitud en cada línea de rotura.

El momento interno que corresponda a la línea de rotura CA debe ser resistido por una armadura paralela al eje x.

Los momentos que actúan en la línea AD y la línea DB, podrían resistirse por armaduras perpendiculares a las mismas, o mejor aún por una armadura fey = fex

En efecto el vector momento Mp que actúa por metro de longitud de la línea AD puede descomponerse en dos vectores momento Mpx y Mpy

Mpx = 0,866 Mpy               y            Mpy = 0,5 Mp
Como el primero corresponde a una faja de losa de 0,866 m de ancho, y el segundo a una faja de 0,5 m, resulta, en definitiva, un valor por metro de ancho, tanto para la faja en dirección x, como para la de dirección y, actuando el momento Mp, y en consecuencia debe colocarse una armadura fex = fey extendida a toda la losa.
Losa (placa) circular
En el caso de una placa circular simplemente apoyada en su perímetro, cualquier línea radial puede considerarse como línea de plastificación. Estudiemos el equilibrio de un sector circular pequeño (figura MVII-11).
El área de este elemento es, al área total, como 2 es a 2 o sea:

Momento con respecto al borde

El momento exterior es equilibrado por los momentos interiores que actúan en las líneas de rotura.
La ecuación de equilibrio resultará de proyectar los “vectores momentos” sobre la dirección de la tangente al sector que se analiza.

si el elemento considerado es chico, sen = , entonces
Losa triangular simplemente apoyada, de lados desiguales
Q es la carga de la totalidad de la placa, o sea:
Q = q · área_placa
Otros polígonos regulares
Tabla MVII-3: Tabla de coeficientes de momentos y reacciones para losas macizas cruzadas 
Criterios para definir el espesor de las losas cruzadas

Para losas cruzadas se utilizan los mismos criterios para definir su espesor que los dados para losas derechas.

A los fines de predimensionar el espesor de la losa en la etapa de anteproyecto, podemos utilizar los siguientes criterios teniendo en cuenta la condición de sus apoyos, de manera de garantizar que la losa tenga la rigidez suficiente para no superar las flechas admisibles, y no tener que realizar la verificación de las mismas.
 Losa sin vigas de borde               h = ln / 30
 Losas con vigas de borde           h = ln / 33
 Losas con vigas importantes en todo su contorno 
siendo ln la luz libre del lado mayor de la losa.
siendo Jb el promedio de los momentos de inercia de las vigas de borde de la losa; y Js el momento de inercia de la losa
 Losas con bordes de losas o encadenados
siendo ln la luz libre del lado mayor de la losa
para h ≥ 12 cm
 Losas apoyadas sobre mampostería

En todos los casos, la separación (s) máxima de la armaduras será: smáx ≤ 2h

LOSAS NERVURADAS y ALIVIANADAS
Cuando el espesor de la losa es importante, ya sea por condición de resistencia o deformación, se puede disminuir su peso, eliminando parte del hormigón de las zonas traccionadas donde no colabora. Se reemplaza por bloques o ladrillos huecos o por elementos de telgopor que quedan perdidos en la losa; el fondo sigue siendo plano, quedando unos nervios de hormigón que conectan la armadura con la capa de compresión. También se puede modelar el fondo con casetones que se retiran.

Según el nuevo reglamento, se llama losa nervurada cuando se usan moldes recuperables; se llama losa alivianada cuando se dejan insertos en el hormigón; a los fines del cálculo no existen diferencias.

Las nervaduras pueden disponerse en una o en dos direcciones.

Las figuras de MVII-14 muestran losas macizas, nervuradas y alivianadas.

Limitaciones dimensionales para losas nervuradas

bmin ≥ 100 mm           h ≤ 3,5 bmínimo           s ≤ 800 mm

El espesor de la losa de hormigón hf ( capa de compresión ) debe ser:

 para losas alivianadas:

hf ≥ 4 cm

hf ≥ s/12  siendo s la distancia entre ejes de nervios

 para losas nervuradas:

hf ≥ 5 cm

hf ≥ s/12,  siendo s la distancia entre ejes de nervios

El criterio para definir la altura (h) de una losa nervurada o alivianada es similar al de las losas macizas, pero la práctica aconseja incrementar un poco dicha altura para compensar la menor sección de material sometido a esfuerzo de corte.

Nervios transversales: El nuevo reglamento no hace mención de estos nervios transversales, queda a criterio del profesional incluirlos o no. Se colocan principalmente para distribuir las cargas más uniformemente, por lo que se recomienda su uso cuando hay cargas concentradas en pequeños sectores de la losa.

Otra de sus funciones es la de agregar rigidez al conjunto.

Losas con nervios en dos direcciones
En la figura MVII-1d se puede apreciar la forma de una losa con nervios en dos direcciones o cruzada.
Considerando que las cargas se distribuyen en esas dos direcciones, podemos definir, sin lugar a dudas que:            qx + qy = q
Un punto A cualquiera de una franja de losa en un sentido tiene una flecha idéntica a la del mismo punto A en la franja en el sentido transversal a la primera, entonces podemos definir ambas flechas y establecer una igualdad entre ellas:
Si   entonces
Por propiedad de las ecuaciones proporcionales, 
Ahora despejamos qx Si llamamos  entonces
Tabla MVII-4: Coeficientes de distribución de cargas en las dos direcciones de losas cruzadas, nervuradas y alivianadas

qx = x . q

qy = y . q

qx + qy = q

DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES PLACAS  EN T O L
Introducción
Las experiencias han verificado que las vigas que se encuentran íntimamente ligadas a las losas arrastran en su deformación una parte de ésta. Por este motivo, la sección de la viga no será rectangular si no en forma de T o L .
Las vigas T o L constituyen sin duda una solución estructural muy racional en hormigón armado, siempre que la losa se disponga del lado de las compresiones. En estas condiciones, la viga cuenta con una gran cantidad de material sometido a compresión y puede resistir grandes momentos flectores, aun con alturas reducidas.
b = ala, ancho colaborante; bw = ancho del nervio; a = distancia libre entre vigas; h = altura de la viga; hf = espesor del ala, capa de compresión, losa.
Se comprende fácilmente que la eficacia con que la losa colabora con la viga disminuye a medida que se aleja de ésta. Para evitar la consideración de tensiones decrecientes, se aplica el criterio de reemplazar el ancho real por otro llamado ancho colaborante.
Ancho colaborante  máximo – Ancho disponible

Debido a que debe existir una compatibilidad entre las deformaciones del ala y del nervio, en la superficie de contacto entre ambos se verifican las mismas deformaciones longitudinales y flexionales.

Se producen tensiones tangenciales    que trasmiten una parte de la fuerza de compresión por flexión desde el nervio a la placa, resultando ésta con un doble estado de tensiones.

Se resuelve el doble estado de tensiones y se analiza la distribución de las tensiones normales longitudinales    en el ancho del ala; en un corte perpendicular a la viga, en una zona de momento máximo, se observa que las tensiones tienen valores altos en la zona de mayor rigidez, en correspondencia con el nervio, y valores reducidos en zonas alejadas del nervio.

En la práctica, en lugar de considerar la verdadera variación de tensiones en el ancho del ala, se define un ancho de colaboración b con un diagrama de tensiones igual a la tensión máxima que produce la resultante de las compresiones reales.

El ancho de colaboración o ancho efectivo depende de:

La forma de la carga: uniforme, puntual directa o indirecta;

Las condiciones de apoyo: viga simple, viga continua o en voladizo;

La forma de la sección: vigas T simétricas o asimétricas, relación entre espesor del ala y altura del nervio;

Las condiciones de borde de la placa: empotramiento perfecto o no;

La luz de la viga (l);

La distancia entre nervios (a)
El reglamento CIRSOC 201 establece los siguientes límites máximos para el ancho de colaboración de la placa:
 Para vigas T simétricas (con alas de ambos lados), se considera el menos valor de b entre:
siendo a la distancia libre hasta las vigas más cercanas a ambos lados.
 Para vigas L (con ala de un solo lado), se considera el menor valor de b entre: 
siendo a la distancia libre hasta la viga más cercana.
Resistencia de las vigas placa
En el análisis de la resistencia de una viga placa se presentan diferentes situaciones según la posición que ocupe el eje neutro.
 Eje neutro dentro del ala de la viga, o sea  c hf;  la altura del área comprimida es menor que el espesor del ala.
En este caso la viga puede analizarse como una viga rectangular de ancho b, que es el ancho colaborante del ala, y altura d. El momento nominal y la armadura de tracción se obtienen de la misma forma que para una viga rectangular.
La deformación en el acero deberá ser:  s ≥ 0,005     por lo tanto,
en consecuencia  

Recurrimos a la Tabla MVI-2, y con el hormigón correspondiente, buscamos kc 

y calculamos c = kc . d
Se comprueba que c sea menor que hf, y se calcula la armadura:
Verificamos ahora la deformación del acero, sabiendo que:
de donde
 Eje neutro dentro del alma de la viga, o sea c   hf; la altura del área comprimida es mayor que el espesor del ala.
Debe aplicarse un procedimiento que tenga en cuenta la forma real de la viga T en la zona comprimida. Se pueden aplicar dos métodos:
a) Primer método:
Se considera una viga rectangular de ancho b; en ese caso c = 0,85f’c· a · b.
Se supone que si s ≥ 0,005 entonces = 0,9
Buscamos definir la deformación del acero:
Sabemos que porque el eje neutro está en el alma.
En el diagrama de tensiones podemos determinar que
y por semejanza de triángulos definimos: que deberá ser mayor o igual a 0,005.
Para determinar la sección de acero, analizo:
de donde
b) Segundo método:
Consiste en hallar una sección rectangular de ancho equivalente.
Se elige kc en la Tabla MVI-2 para definir el valor de b
una vez hallado este valor, calculamos b1 = b·b
Ahora estamos en condiciones de determinar kd
Con este valor, volvemos a la Tabla MVI-2, y comparamos el kc correspondiente con el que elegimos al principio. Si no coincide, realizamos iteraciones hasta lograr un valor muy aproximado. Recién entonces tendremos un ke que nos permitirá calcular la armadura:
 
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