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MODULO V

RESISTENCIA DE MATERIALES

Tracción simple y compresión simple

Este Módulo V reproduce los contenidos del Módulo V de la publicación ESTRUCTURAS EN ARQUITECTURA - Primer Nivel cuyo autor es el Ingeniero José Luis Gómez - ISBN 987 - 98330 - 0 - 7

Consideremos una barra prismática cargada en su extremo tal como indica la figura MV-1. Bajo la acción de esta carga la barra se alarga una cierta cantidad ΔL.

Cuando la carga disminuye, el alargamiento de la barra también disminuye, y el extremo cargado vuelve hacia arriba. Si al retirar la carga el cuerpo recupera su forma primitiva, se dice que el mismo es perfectamente elástico.

Si, por el contrario, al descargarlo la deformación no desaparece por completo, se trata de un cuerpo parcialmente elástico.

LEY DE HOOKE

Experimentos realizados, sometiendo a extensión barras prismáticas, han hecho ver que entre ciertos límites el alargamiento de la barra es proporcional a la fuerza extensora (Hooke, 1678).

Como la fuerza P se distribuye uniformemente en toda el área A de la sección de la barra, la fuerza por unidad de superficie será:  = P/A, se denomina Tensión y se expresa corrientemente en kg/cm2 o en t/cm2.

A su vez, el cociente entre el alargamiento y la longitud inicial constituye el alargamiento por unidad de longitud:

= L/L

DIAGRAMA TENSIÓN-DEFORMACIÓN DEL ACERO

En la figura MV-2 se representa el diagrama típico de acero común y el del acero de dureza natural (ADN).

Si llevamos sobre el eje horizontal los alargamientos y sobre la ordenada las tensiones, se observa que en ambos aceros hay una zona donde las deformaciones son proporcionales a las tensiones. La Ley de Hooke expresa esta proporcionalidad de la siguiente manera:

= E x

El coeficiente de proporcionalidad E es una constante elástica del material llamada Módulo de Elasticidad y se expresa en kg/cm2 o en t/cm2. Cuando se produce alargamiento de la barra sin aumentar la tensión, decimos que el material entra en fluencia, y la tensión correspondiente a este período se denomina tensión de fluencia. Posteriormente el material recupera su resistencia, sin cumplir la Ley de Hooke, pasando por el punto de máxima tensión y llegando finalmente a la rotura, para una deformación del orden del 20%.

VER EJERCICIOS                      Ejercicio 18                   Ejercicio 19

TENSIÓN ADMISIBLE

Para tensiones inferiores al límite de proporcionalidad, el material puede considerarse perfectamente elástico; por encima de este límite, parte de la deformación se conserva al descargar la barra. Es decir se presentan deformaciones permanentes. Para que la estructura esté siempre en condiciones elásticas y no exista la posibilidad de deformaciones permanentes, la tensión de trabajo o tensión admisible debe adoptarse por debajo del límite de proporcionalidad. Se toma como tensión admisible del material, la tensión de fluencia dividida por un coeficiente de seguridad.

Por ejemplo en el caso del acero de dureza natural ADN 420, tomando un coeficiente de seguridad = 1,75, la tensión admisible será:

adm = fluencia ÷ 1.75  = 4200(kg/cm2) ÷ 1.75 = 2400 kg/cm2

El módulo de elasticidad de estos aceros es E = 2100000 kg/cm2

Para el caso de estructuras conformadas por perfiles laminados o tubos estructurales, la tensión de fluencia es de 2400 kg/cm2, y el coeficiente de seguridad es 1.6

adm = fluencia ÷ 1.6 = 1500 kg/cm2
Ensayos a compresión simple de la madera

Para comprender el comportamiento mecánico de la madera es preciso tener presente la constitución anatómica de la misma
Debe considerarse un material anisótropo formado por un haz de tubos huecos que siguen aproximadamente la dirección longitudinal del tronco (fibras) con una estructura especialmente diseñada para resistir tensiones en esa dirección (paralela a las fibras). La capacidad resistente en sentido perpendicular a ellas es mucho menor.
Esto nos obliga a considerar propiedades mecánicas diferentes, por lo menos en dos direcciones: paralela, y perpendicular a las fibras, constituyendo ésta la principal diferencia de comportamiento frente a otros materiales utilizados en estructuras, como el acero y el hormigón.
El ensayo principal en la madera es el de compresión, del cual se pueden deducir las demás características mecánicas en forma simplificada.

Ensayo de compresión paralelo a la fibra

El objetivo de este ensayo es la determinación de la resistencia y rigidez a compresión paralelo a la fibra de la madera de un lote considerado homogéneo.
La resistencia a la compresión paralela a la fibra(fc0) está dada por la máxima tensión de compresión que puede actuar en un cuerpo de prueba con sección transversal cuadrada de 5cm de lado y 15cm de altura, y está dada por la siguiente expresión

donde
Fc0máx = máxima fuerza de compresión aplicada durante el ensayo
A = área inicial de la sección comprimida
fc0 = resistencia a la compresión paralelo a la fibra
El valor característico de resistencia a compresión paralelo a la fibra deberá ser de-terminado con las expresiones que nos provee la estadística. (ver conceptos de estadísticas en el Módulo VI)
La rigidez de la madera en la dirección paralelo a la fibra debe ser determinada por su modulo de elasticidad, obtenido en el tramo lineal del diagrama tensión-deformación especifica, como lo indica la figura MV-5.
El modulo de elasticidad debe ser determinado por la inclinación de la recta secante a la curva tensión-deformación definida por los puntos ( = 10%; =10%) y ( = 50%; = 50%), correspondientes respectivamente al 10% y 50% de la resistencia a compresión paralela a las fibras, medida en el ensayo.
donde
10% y 50% son las tensiones de compresión correspondientes a 10% y 50% de la resistencia fc0
10% y 50% son las deformaciones específicas medidas en el cuerpo de prueba, correspondientes a las tensiones 10% y 50%.
Mediante la realización de varios ensayos (mínimo 6), y usando las fórmulas que facilita la estadística, se obtiene lo que se denomina tensión o resistencia característica, de un determinado tipo de madera, usando la nomenclatura de la norma brasileña para madera.
fc0k donde

f

c

0

k

tensión

compresión

(cero) paralelo a las fibras

característica

La definición de tensión característica será: la tensión inferior que no puede ser alcanzada por solamente el 5% de las probetas que constituyen el lote ensayado.
La tensión característica es una tensión de rotura, obtenida por el ensayo de probetas como la indicada en la figura 60, libre de defectos, y con una humedad del 12%. Por lo tanto para obtener la tensión de diseño (también llamada resistencia de cálculo), además del coeficiente de seguridad, se deben aplicar coeficientes de modificación, para acercar dicha tensión de diseño al comportamiento real del material de la estructura.

fd = kmod  x  fc0k  ÷  w         donde

fd

kmod 

w

tensión de cálculo

coeficiente de modificación

coeficiente de seguridad

El coeficiente de modificación kmod es un coeficiente de corrección que afecta a los valores de cálculo de las propiedades de la madera, en función de la clase de carga de la estructura, de la humedad admitida por la madera (humedad de equilibrio), y de la enorme posibilidad de empleo de madera de segunda categoría.

El coeficiente de modificación kmod está formado por el producto de tres coeficientes parciales de modificación.

kmod = kmod 1  kmod 2  kmod 3        donde

kmod1

Tiene en cuenta el tipo de carga y el tipo de material empleado

Se obtiene de la Tabla kmod1

kmod2

Tiene en cuenta porcentajes de humedad y tipo de material empleado

Se obtiene de Tabla kmod2

kmod3

Tiene en cuenta la categoría de la madera

Se obtiene de Tabla kmod3

La condición de madera de primera categoría solamente puede ser admitida si todas las piezas estructurales están exentas de defectos.

El coeficiente de seguridad tiene el objetivo de cubrir la incertidumbre que existe en la determinación de las acciones, fundamentalmente de las cargas variables (viento, nieve, sismo), y la incertidumbre sobre la resistencia del material que se está utilizando, en comparación con el de las probetas.

Si se denomina    1 = 1.3 al coeficiente que cubre las incertidumbres por las acciones y     2 = 1.4 al coeficiente que cubre las incertidumbres por el material                     
w = 1.3 x 1.4 = 1.82

Nota importante

Para el cálculo de las deformaciones de un material es necesario conocer su rigidez por el valor medio del módulo de elasticidad, determinado sobre la base del comportamiento elástico-lineal.

En el caso de la madera, el módulo de elasticidad paralelo a las fibras debe ser tomado como lo que se llama valor efectivo.

Ec0ef = kmod 1 x  kmod 2 x  kmod 3 x  Ec0m

El módulo de elasticidad perpendicular a las fibras

Ec90ef =  Ec0ef   ÷  20

VER EJERCICIOS

Ejercicio 20

Ejercicio 21

Ejercicio 22

Ejercicio 23

Ejercicio 24

Ejercicio 25

    

CARACTERIZACIÓN SIMPLIFICADA DE LA RESISTENCIA DE LA MADERA ASERRADA

Se  permite la caracterización simplificada de las resistencias de las maderas de especies que se usan en la construcción de estructuras, a partir de los ensayos de compresión paralela a las fibras. Las relaciones adoptadas para los valores característicos de las resistencias son las siguientes:

ft0k = 1.3 fc0k

ft0k = resistencia característica a tracción paralelo a las fibras

ftMk = ft0k

ftMk = resistencia característica a flexión

fc90k = 0.25 fc0k

fc90k = resistencia característica a compresión perpendicular a las fibras

fv0k = 0.15 fc0k (para coníferas)

fv0k = resistencia característica a corte paralelo a las fibras

fv0k =  0.12 fc0k (para frondosas)

El 0 (cero) y el 90 (noventa) están representando el ángulo que forma la dirección de la carga con la dirección de las fibras.

FLEXIÓN

Viga simplemente apoyada de material homogéneo y sección rectangular

Consideremos la viga que ilustra la figura MV-6.

Al deformarse, es obvio que las fibras superiores se comprimen y que las inferiores se traccionan. Estos acortamientos (o alargamientos) de las fibras longitudinales, disminuyen desde los bordes hacia el interior de la viga. Y como las variaciones de longitud cambian de signo de un borde al otro, evidentemente habrá un plano de fibras longitudinales que no sufrirá deformación alguna. Es el plano neutro, cuya intersección con el plano medio (plano de dibujo) constituye la línea neutra n-n’.

Partimos de la hipótesis de Bernouille, corroborada por numerosos ensayos, que dice que: las secciones de la viga tales como (P1-q1) y (P2-q2), las cuales antes de la deformación son planas y perpendiculares al eje de la viga, giran, como consecuencia de dicha deformación, manteniéndose planas, hasta quedar perpendiculares a las fibras longitudinales deformadas. De allí se deduce muy fácilmente que los alargamientos y los acortamientos aumentan con la distancia al eje neutro, siendo máximos en los bordes.

Para poner de manifiesto la magnitud relativa de estas deformaciones bastaría dibujar por n2 la recta P’2-q’2 paralela a P1-q1, resultando así definida la zona coloreada la cual constituye, a cierta escala, el diagrama de deformaciones de las diferentes fibras de la viga, y que muestra inmediatamente que las deformaciones son directamente proporcionales a la distancia y entre la fibra y el eje neutro.

En el ejemplo de la figura MV-7 la fibra cd tiene, después de la deformación, una longitud ce > cd. La diferencia (cecd = de) constituye el alargamiento total del segmento cd. A su vez, el cociente entre este alargamiento y la longitud inicial, constituye el alargamiento por unidad de longitud o alargamiento unitario, designado con la letra  , siendo = de / cd.

Conocido el alargamiento (o acortamiento) unitario es posible conocer la tensión a que está sometida una fibra cualquiera, de acuerdo con la Ley de Hooke, = E x . Como podemos apreciar, la tensión máxima de compresión en una sección cualquiera de la viga está en el borde superior, y la tensión máxima de tracción en el borde inferior. Una viga estará bien dimensionada si las tensiones extremas no superan a las admisibles del material del que está construida la viga.

DIMENSIONADO A FLEXIÓN DE SECCIONES DE MATERIAL HOMOGÉNEO

Analizamos primeramente una sección rectangular y luego generalizaremos a secciones de forma cualquiera.

Conocidas las solicitaciones en las secciones de una pieza estructural, procedemos a dimensionar la sección transversal.

Dimensionar cualquier pieza estructural significa encontrar las dimensiones de la sección estudiada, de manera de evitar permitir que se produzcan deformaciones permanentes.

Por lo general, se determinan las dimensiones de la sección  para que resista el momento flector máximo, y luego se verifica si resiste el esfuerzo de corte máximo.

En la viga de la figura MV-8 analizamos la sección central, que es donde el esfuerzo de corte cambia de signo, por lo tanto el momento flector es máximo.

Realizamos un corte en el centro y separamos la parte que está a al izquierda de la sección. Esta parte de la viga debe estar en equilibrio por la acción de las fuerzas exteriores y las que le transmite la parte derecha de la viga, mediante el trabajo a compresión y tracción de las fibras paralelas al eje de la viga (figura MV-9).

C = resultante (fuerza de compresión) de todas las fibras comprimidas;

T = resultante (fuerza de tracción) de todas las fibras traccionadas;

z = brazo de palanca de la cupla resistente;

x  z = T  x  z = momento resistente

Mf = C  x   z (1)

          

       o sea (tensión media  x  superficie) (a)

De la figura MV-10b se deduce

reemplazando en (1)

donde

la cual es una característica geométrica de la sección que se denomina módulo resistente a flexión.

La ecuación (2) sirve solamente para el cálculo de la tensión de las fibras extremas. Si deseamos saber el valor de la tensión y que la flexión origina en una fibra cualquiera distante y del eje neutro (figura MV-10c), podemos escribir por simple relación de triángulos:

despejando y, y teniendo en cuenta la ecuación (2)

La expresión b x d3 ÷ 12 es el momento de inercia de la sección respecto de su eje baricéntrico, y es otra característica geométrica de la sección Jx (4)       

luego, y reemplazando, 
esta ecuación para una fibra del borde de la sección resulta
por (2)

Veamos el comportamiento de una misma sección rectangular de material homogéneo según distintas disposiciones, en las figuras MV-11, a y b.

Las cargas de cada viga de las figuras MV-11a y MV-11b son iguales. Pero las deformaciones no son iguales, sino que dependen de la disposición del material de cada una. De ahí surge una conclusión importante: la rigidez de una pieza que trabaja a flexión no depende de la cantidad de material que tiene su sección transversal, sino de la manera en cómo el material está dispuesto a lo ancho y a lo alto de dicha sección. Conviene, desde luego, que el material esté lo más alejado posible del plano neutro, ya que la capacidad de una viga a flexión, independientemente del material de que está hecha, crece mucho más si se aumenta la altura que si se aumenta el ancho. Convienen, pues, vigas de poco ancho y bastante altura, siempre, por supuesto, que factores funcionales o arquitectónicos no se opongan a ello.  La característica de la sección resistente, que expresa esta distinta capacidad de resistir deformaciones por flexión, es el momento de inercia, el cual, para la sección rectangular vale  J = b x d3 ÷ 12, donde:

J = es el símbolo, que en lo sucesivo, emplearemos para designar el momento de inercia de la sección de la viga;

b = es la dimensión de la sección en dirección paralela al eje neutro;

d = es la dimensión de la sección en dirección perpendicular al eje neutro.

Comparemos el momento de inercia de una misma sección, en dos posiciones diferentes. En las figuras que se observan el momento de inercia valdría, en cada caso:

J = Jx = 10  x  303 ÷ 12 = 22500cm4

J = Jx = 30  x  103 ÷ 12 = 2500cm4

El segundo valor es mucho menor que el primero.

Tensiones de corte originadas por la flexión

Tomemos el mismo ejemplo que utilizamos en oportunidad de estudiar las solicitaciones de una pieza estructural (figura MV-12).

Estudiaremos ahora el efecto de las fuerzas cortantes verticales que obran en cada sección de la viga y que designaremos con la letra Q.

Si dividimos el esfuerzo de corte Q por el área de la sección de la viga que debe resistir este esfuerzo de corte, resultaría una tensión de corte media:

Decimos tensión media porque en realidad, las tensiones de corte, si bien resultan uniformes en el ancho de la sección resistente, varían a lo largo de la altura de dicha sección, siendo su valor máximo en el plano neutro desde donde disminuyen hacia los borden según una ley parabólica.

Evidentemente  máximo es mayor que  medio y se puede demostrar fácilmente que es máximo en el eje neutro y vale:

y como en una sección rectangular de material homogéneo z = 2/3 d,  se deduce que

reemplazando en la expresión que nos da la tensión de corte máxima:

El valor de la tensión de corte máxima encontrada deberá ser menor que la tensión de corte admisible del material con que se dimensionó la sección de la pieza.

máxima     admisible

VER EJERCICIOS

Ejercicio 26

SECCIONES NO RECTANGULARES

Durante el proceso de diseño de secciones de material homogéneo sometidas a flexión, es frecuente que la forma rectangular no sea la única a adoptar para satisfacer las solicitaciones.

Para dimensionar una sección no rectangular se aplican las fórmulas (2) y (5)

En estas fórmulas aparecen las características de la sección llamadas W (módulo resistente) y J (momento de inercia), de modo tal que es necesario conocer o determinar estos valores.

En caso de utilizar perfiles normalizados de acero, se pueden hallar los valores de J y W en las tablas correspondientes. Los perfiles normalizados más frecuentemente utilizados como barras sometidas a flexión simple son los doble T, los C y los tubos de sección cuadrada o rectangular, debido a la simetría de las secciones correspondientes. Realizaremos ahora

VER EJERCICIOS

Ejercicio 27

Secciones no rectangulares no tabuladas

En ocasiones, cuando las solicitaciones superan los valores que admiten las secciones normalizadas, se puede recurrir a la combinación de varias secciones de características geométricas conocidas. La verificación de tensiones máximas se realiza mediante la aplicación de las fórmulas ya desarrolladas, pero previamente se deberá establecer el valor de J de la sección combinada. Para ello se utiliza una fórmula de momento de inercia que expresó Steiner, y que dice: 

Jconjunto = ∑Ji + ∑ (Ai x di2)

donde  di  es la distancia entre el baricentro del perfil considerado y el baricentro del conjunto. Para hallar el baricentro de la sección combinada puede aplicarse el Teorema de Varignon.

VER EJERCICIOS

Ejercicio 28 Ejercicio 29
Observación importante: durante el dimensionado a flexión de secciones de material homogéneo, se han tenido en cuenta los valores de esfuerzo de corte y de momento flector; sin embargo se debe hacer notar que hay un factor importante y que no se desarrolla en este Módulo: la flecha, o sea, la deformación por flexión, y que será tema de futuros cursos de la carrera.
En el dimensionado de secciones de material homogéneo, y especialmente en materiales naturales como la madera, aparecen factores que modifican los valores mecánicos considerados y que dependen, no solamente del tipo de madera, sino de la calidad de la pieza en sí, por condiciones de procesamiento, estacionamiento, localización del corte, procedencia del árbol, etc.
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Este Módulo V reproduce los contenidos del Módulo V de la publicación ESTRUCTURAS EN ARQUITECTURA - Primer Nivel cuyo autor es el Ingeniero José Luis Gómez -ISBN 987 - 98330 - 0 - 7

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