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MÓDULO IV

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ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN SIMPLE

Determinación de solicitaciones en secciones de una pieza estructural

Es parte de los contenidos de ESTRUCTURAS EN ARQUITECTURA cuyo autor es el Ingeniero José Luis Gómez

Ya vimos que un elemento estructural, sobre el cual actúa un estado de cargas, encuentra su equilibrio a través de las reacciones de apoyo. Recordemos que el equilibrio es la condición que deben cumplir el conjunto y cada una de las partes de la estructura.

Veamos ahora cuáles son los efectos estáticos que las cargas y reacciones provocan en cada una de las secciones del cuerpo en estudio. Para ello consideremos la viga de la figura MIV-1 con el estado de carga indicado. 

Aplicando las condiciones de equilibrio se obtuvieron los valores de las reacciones de apoyo que equilibran el sistema.

Estudiemos la sección S - S, para lo cual cortamos la pieza con un plano perpendicular a su eje, dividiéndola en dos partes A y B.

Evidentemente cada una de estas partes, ahora, no está en equilibrio.

 Si se quiere restablecer el equilibrio en cada una de ellas, sólo será necesario aplicar, en la sección S - S  de la parte B, un sistema estático equivalente a las fuerzas que quedaron en la parte A.

Es lógico, pues las fuerzas que actúan a uno y otro costado de la sección en conjunto estén en equilibrio.

Las fuerzas RA, P1 y P2 dan una resultante de 2 t hacia abajo y un momento horario de 26 tm aplicado en la sección S-S (figura MIV-2).

Análogamente en la sección S-S de la parte A se aplica un sistema estático equivalente a las fuerzas situadas en la parte B.

Una fuerza hacia arriba de 2 t y un momento anti-horario de 26 tm aplicados en la sección S-S son equivalentes a las fuerzas P3 y RB (figura MIV-3).

Estos sistemas estáticos equivalentes han sido obtenidos, reduciendo las fuerzas, a uno y otro costado de la sección, a una fuerza y a un momento, aplicados en el centro de gravedad de la sección en estudio.

Resumiendo: la resultante Q que actúa en la parte derecha (figura MIV-2) fue obtenida con las fuerzas de la izquierda (figura MIV-3) y viceversa; el momento resultante que actúa en la parte derecha (figura MIV-2) fue obtenido con las fuerzas de la izquierda (figura MIV-3) y viceversa

En la figura MIV-4 se ha representado un trozo de la viga de espesor infinitesimal que contiene la sección S-S como sección transversal. En la misma se ha respetado el sentido de las fuerzas y momentos encontrados en las figuras MIV-2 y MIV-3. Podemos decir que una sección cualquiera de un cuerpo en equilibrio, está también en equilibrio y sometida a fuerzas y momentos de diferente signo (+/-) aplicados en su centro de gravedad. Representando dos secciones infinitamente próximas, el efecto de las dos fuerzas Q es producir un deslizamiento relativo de una con respecto a la otra, conforme indica la figura 35, apareciendo un efecto de corte; por esta razón Q es llamado esfuerzo cortante. Respondiendo a un hecho mecánico, definimos:

ESFUERZO DE CORTE EN UNA SECCIÓN CUALQUIERA DE UN CUERPO EN EQUILIBRIO ES LA PROYECCIÓN, SOBRE EL PLANO DE LA SECCIÓN, DE LA RESULTANTE DE LAS FUERZAS A UN COSTADO DE LA MISMA.

Representando dos secciones infinitamente próximas (figura MIV-6), la tendencia de los momentos a ambos costados de las secciones es provocar una rotación de las secciones alrededor de un eje situado en su propio plano, produciendo compresiones o acortamientos en una parte de la sección y tracciones o alargamientos en la opuesta. La pieza quedará flexionada, definiendo por ello como:

MOMENTO FLECTOR ACTUANTE EN UNA SECCIÓN ES LA SUMA DE LOS MOMENTOS PRODUCIDOS POR TODAS LAS FUERZAS A UN COSTADO DE LA MISMA.

Encontrando el sentido del momento resultante a uno y otro costado de la sección, podemos conocer qué fibras están comprimidas y qué fibras están traccionadas. El tramo central de la barra flexionada (figura MIV-7) está muy solicitado por el momento flector, en tanto que los extremos, de la misma barra, están solicitados por el esfuerzo de corte.

 Diagrama de esfuerzos de corte y diagrama de momentos flectores 

Si en relación con distintas secciones se determina el momento flector y el esfuerzo de corte, (y estos valores se llevan en forma de ordenadas a partir de una línea de referencia, coincidente con el eje del elemento estructural) se obtienen, respectivamente, un diagrama de momentos flectores y uno de esfuerzo de corte.

Así para el diagrama de cargas que ilustra la figura 38, se analiza que:

  • las coordenadas necesarias para la determinación del diagrama de esfuerzo cortante son:

Sección A:  QAC = 6 t

Sección C:  QCD = 6 - 5 = 1 t

Sección D:  QDE = 6 - 5 - 3 = -2 t

Sección E:  QEB = 6 - 5 - 3 - 9 = -11 t

  • las ordenadas para la obtención del diagrama de momentos flectores:

MC = 6 x 4 = 24 tm

MD = 6 x 8 - 5 x 4 = 28 tm

ME =6 x 11 - 5 x 7 - 3 x 3 = 22 tm

Observación fundamental:  donde el esfuerzo de corte cambia de signo, el momento flector es máximo.

 Carga uniformemente distribuida 

Sea la viga de la figura MIV-9 sobre la que actúa una carga uniformemente repartida (que cubre toda la luz).

Si llamamos q a la carga por metro lineal de viga, la carga total que ésta soporta será: q x l  y las reacciones de apoyo serán:

Analicemos los valores del esfuerzo de corte y del momento flector en una sección cualquiera, a una distancia x del apoyo izquierdo (figura MIV-10). 

El esfuerzo de corte será:

como se ve la variable x elevada a la potencia 1 nos indica que la variación es lineal.
El momento flector valdrá: 

y de ello surge que el momento flector debido a una carga uniformemente repartida, varía según una parábola de segundo grado.

En la mitad de la viga el momento será máximo, porque el esfuerzo de corte cambia de signo, y valdrá:

Al mismo resultado llegaríamos reemplazando en la ecuación del momento para una sección cualquiera, la variable a por l/2.

Para dibujar rápida y prácticamente el diagrama de momentos, conviene observar que:

para x = ¼  luz  y  x = ¾  luz  el momento M es ¾ Mmáx

De la observación de los diagramas surgen las siguientes conclusiones: al pasar de una sección a otra, entre las cuales la viga soporta una carga uniformemente distribuida, el diagrama de esfuerzo de corte varía linealmente, en tanto el diagrama de momentos es una parábola de segundo grado.

El dibujo de la figura MIV-11 es una construcción geométrica que nos da excelente precisión en el trazado del diagrama de momentos flectores:

Sea M-M1 = q x l2 / 8  es decir, el segmento que representa el valor en escala del Mmáx.

Unimos A con M1 y B con M1.

Si queremos encontrar un punto de la parábola, sobre una recta aa vertical cualquiera, por la intersección con A-M1 trazamos una horizontal hasta que corte la recta vertical que pasa por el apoyo. Uniendo este punto con M1, donde esta última recta encuentra a la recta aa, queda definido un punto de la parábola. Con este método se podrán obtener otros puntos de la parábola.

 Carga triangular 

Analizamos una viga con carga triangular de valor máximo igual a “p” en el borde derecho (figura MIV-12). La carga concentrada equivalente (resultante)  será: 

 

y estará ubicada a una distancia de   luz / 3   del apoyo derecho, por ser el centro de gravedad del triángulo correspondiente.

Aplicando las condiciones de equilibrio, obtenemos las reacciones de apoyo: 

A una distancia a del apoyo izquierdo, el valor de la ordenada en el diagrama de carga será, por proporciones

El momento flector en una sección cualquiera, a la distancia a del apoyo:

el diagrama de momentos flectores es una parábola de tercer grado.

La ecuación que nos da el esfuerzo de corte en una sección cualquiera:

nos indica que el diagrama de esfuerzo de corte es una parábola de segundo grado.

EJERCICIOS DE DIAGRAMAS

ejercicio 11

ejercicio 12

ejercicio 13

ejercicio 14

ejercicio 15

ejercicio 16

ejercicio 17

 

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